민규빈의 주저리주저리절절

오늘의 뜬금없는 노래 ※수식이 좀 깁니다. PC나 태블릿으로 보세요. 숙제로 다른 명제를 증명하다가 lemma로 써먹을 일이 생겨서 증명했던 것을 가져와 본다. 임의의 확률변수 \(X\)와 \(Y\)에 대해서 \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)\)가 성립함은 주지의 사실이다. 또한 임의의 확률변수 \(Z\)를 추가하면 \[V(X+Y+Z)=V(X+Y)+V(Z)+2Cov(X+Y,Z)\] \[=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)+V(Z)+2Cov(X,Z)+2Cov(Y,Z)\] \[=V(X)+V(Y)+V(Z)+2(Cov(X,Y)+Cov(Y,Z)+Cov(X,Z))\] 가 됨을 쉽게 알 수 있다. 여기서 조금만 확장하여 보면 \(n\)개의 확률변수 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\)에 대하여 ..